himpunan

Pengertian Himpunan

Himpunan adalah konsep dasar dari semua cabang matematika. Gerorg Cantor dianggap sebagai bapak teori himpunan. Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan itu. Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting karena untuk membedakan mana yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan. Inilah yang kemudian dinamakan himpunan yang terdefinisi dengan baik (well-defined set).

Mengenal lambang himpunan.

  Suatu himpunan dituliskan sebagai berikut :

a. Nama himpunan ditulis dengan huruf kapital.

b. Penulisan himpunan menggunakan tanda 2 kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma

c. Himpunan yang anggotanya tak berhingga atau tak berlanjut dinyatakan dengan 3 titik Keanggotaan himpunan dinyatakan dengan lambang “n”

Bentuk himpunan

a. Kata-kata

Suatu himpunan dinyatakan dalam bentuk kalimat tidak menggunakan lambing atau menuliskan syarat-syarat keanggotaannya. Contoh: Himpunan bilangan asli

kurang dari 7.

b. Dengan mendaftar (metode tabulasi / roster)

Dengan metode ini anggota himpunan yang dinyatakan dengan metode mendaftar disebutkan satu persatu. Contoh: A = {1, 3, 5, 7}Menyatakan himpunan 4 bilangan ganjil pertama secara tabulasi. A = {2, 4, 6, …} Metode ini digunakan untuk menyatakan himpunan tak berhingga yang jumlah anggotanya sangat banyak.

c. Notasi pembentuk himpunan (metode bersyarat / rule)

Cara ini mirip metode deskripsi namun pada himpunan dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan. Anggotanya dilambangkan dengan huruf (peubah) kemudian diikuti dengan sebuah garis syarat kanggotaan himpunan tersebut.

Bentuk umum :

{ x | …, x є … }

Contoh:

A = { x | x < 10, x є A }

Dibaca: A adalah himpunan x dengan x kurang dari

sepuluhdan x anggota bilangan asli (A).

Macam-macam Himpunan

Himpunan Kosong

     Himpunan A dikatakan himpunan kosong bila bilangan kardinal dari himpunan A = 0 atau n(A) = 0. Himpunan kosong dinotasikan dengan f (phi) atau . Jadi apabila A = , maka A = f atau A =  dan n(A) = 0.

Perhatikan contoh di bawah ini!

1.     B =

2.     C =

3.     D =

4.     E =  dan F =

     Contoh 1, 2 dan 3 merupakan contoh himpunan yang tidak memiliki anggota atau n(B) = n(C) = n(D) = 0. Tetapi contoh 4, himpunan E dan F bukan contoh himpunan kosong, karena E memiliki anggota yaitu “0” dan F juga memiliki anggota yaitu f.

Himpunan Semesta

       Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan U (Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan. Biasanya hinpunan semesta ditetapkan sebelum kita membicarakan suatu himpunan dengan demikian seluruh himpunan lain dalam pembicaraan tersebut merupakan bagian dari himpunan pembicaraan.

Contoh 5:

a.      Apabila kita membicarakan himpunan A maka yang dapat menjadi himpunan semesta adalah:

U = ,

U = ,

U =  atau himpunan lain yang memuat A.

b.      Apabila kita membicarakn himpunan B = , maka yang menjadi himpunan semestanya adalah :

          U =

          U =

          U =

Himpunan Berhingga

       Himpunan A berhingga apabila A memiliki anggota himpunan tertentu atau n(A) = a, a  bilangan cacah. Dengan perkataan lain, himpunan berhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya dapat dinyatakan dengan suatu bilangan cacah.

Contoh 6:

a. A =  karena                                        n(A) = 0, 0  bilangan cacah.

b. B =                                          n(B) = 75, 75  bilangan cacah.

c. C =     n(C0 = 7, 7  bilangan cacah.

Himpunan Tak Berhingga

     Himpunan A disebut himpunan tak berhingga apabila tidak memenuhi syarat himpunan berhingga. Himpunan A apabila anggota-anggotanya sedang dihitung, maka proses perhitunganya tidak akan berakhir. Dengan perkataan lain himpunan A, n banyak anggotanya tidak dapat ditentukan/ditulis dengan bilangan cacah.

Contoh 7:

          Q=

Apabila kita menghitung anggota himpunan Q, maka proses perhitungan anggota Q tidak akan berakhir. Jadi Q adalah himpunan tak berhingga dan n(Q) = ~.

Himpunan Terbilang

  Himpunan A dikatakan himpunan terbilang bila anggota himpunan A tersebut dapat ditunjukkan atau dihitung satu persatu.

        Contoh 8:

a.      A =

Himpunan A di atas merupakan contoh himpunan terbilang sebab dapat dihitung satu persatu, sekaligus contoh himpunan terhingga sebab n(A) = 3.

b.     B =

Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh himpunan tak hingga sebab n(B) = ~.

Himpunan Tak Terbilang

          Himpunan A dikatakan tak terbilang bila anggota himpunan A tersebut tidak dapat dihitung satu persatu.

Contoh 9:

            R =  

            Himpunan R merupakan contoh himpunan tak terbilang, karena anggotanya tak dapat dihitung satu persatu. Himpunan R juga merupakan himpunan tak berhingga, karena n(R) = ~

Himpunan Terbatas

       Himpunan A dikatakan himpunan terbatas bila himpunan A mempunyai batas di sebelah kiri saja disebut himpunan terbatas kiri. Dan jika himpunan tersebut hanya mempunyai batas sebelah kanan disebut himpunan terbatas kanan. Batas sebelah kiri juga disebut batas bawah sedangkan batas sebelah kanan disebut batas atas.

Contoh 10:

a.      P = , mempunyai batas bawah 0 dan batas atas 4.

b.     Q = , mempunyai batas bawah 0 dan batas atas 3.

Tetapi 0  R dan 3  Q.

     Khusus untuk himpunan tak terbatas yang semesta pembicaraanya bilangan real penulisan himpunanya dapat menggunakan notasi interval.

Contoh

a.      A =  dapat ditulis

b.     B =  dapat ditulis

c.      C =  dapat ditulis

d.     D =  dapat ditulis (0,5)

Himpunan Tak Terbatas

       Himpunan A dikatakan himpunan tak terbatas bila himpunan tersebut tidak memiliki batas.

Contoh 12

R =

Operasi Himpunan

Gabungan (Union)

Diberikan himpunan A dan B. Gabungan himpunan A dan B ditulis dengan A ∪ B adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A atau berada di B.

Jadi A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }

Contoh:

A = {a,b,c,1,2} dan B = {c,d,e,f}.

Maka A ∪ B = {a,b,c,d,e,f,1,2}

Irisan (Intersection)

Diberikan himpunan A dan B. Irisan himpunan A dan B ditulis dengan A∩B adalah suatu

himpunan yang anggotanya berada di A dan juga berada di B.

Jadi A∩B = { x | x  ∈ A dan x ∈ B }

Contoh:

A = {a,b,c,1,2} dan B = {c,d,e,f}. Maka A∩B = {c}

Komplemen

Diberikan suatu himpunan A. Komplemen dari A ditulis dengan “ Ac “ adalah himpunan

yang anggotanya berada dalam hiompunan semesta tetapi bukan berada di A.

Jadi Ac = { x | x ∈  S, x∈  A}

Contoh:

Diberikan semesta himpunan bilangan asli.

Jika A = {0,2,4,6,…} maka Ac = {1,3,5,…}

 PENJUMLAHAN

Penjumlahan 2 himpunan A + B adalah himpunan yang anggota - anggotanya

adalah anggota B tetapi bukan anggota A.

                 A + B = { 3, 4, 6, 8 }

Contoh : 

S = { 1, 2, 3, 4, ... , 30 }

A = { faktor dari 8 } = { 1, 2, 4, 8 }

B = { faktor dari 6 } = { 1, 2, 3, 6 }

jika tidak ada anggota himpunan yang sama maka himpunan saling lepas

 PENGURANGAN / SELISIH

Pengurangan hinpunan A oleh B adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota A tetapi bukan anggota B.

Contoh ;

S = { 1, 2, 3, 4, ... , 10 }

A = { 1, 2, 3, 4, 10 }

B = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

maka : 

A - B = { 1, 2, 10 }

B - A = { 5, 6, 7, 8, 9 }

 PERKALIAN HIMPUNAN

Contoh ;

A = { a, b, c }

B = { 1, 2, 3, 4 }

Maka A - B = { (a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4)

Sifat-sifat operasi

Komutatif

   Diberikan himpunan A dan B. Maka berlaku A ∩ a B ∩ A dan juga A ∪ B = B ∪ A

Asosiatif

Diberikan himpunan A, B dan C.

  Maka berlaku A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C dan juga  A ∪ (B∪  C) = (A∪  B) ∪ C

Idempoten

Diberikan suatu himpunan A. Maka berlaku A ∩ A =A dan juga A ∪ A=A

Identitas

Diberikan suatu himpunan A dalam semesta S.

Maka A∩S =A dan juga A  ∪  S=A

Distributif

Diberikan himpunan A,B dan C.

Maka A ∩ (B ∪   C) = (A ∩ B) ∪  (A ∩ C) dan juga  A  ∪ (B ∪  C) = (A ∪  B) ∩ (A ∪  C)

Komplementer

Diberikan suatu himpunan A dalam semesta S. Maka A∩ Ac = S dan A∪ Ac = ∪

Dalil De Morgan

Diberikan himpunan A dan B. Maka (A∩B)c = Ac ∪  Bc dan (A∪B)c = Ac ∪ Bc

Sifat-sifat pada himpunan

1.        A ∩ a=B ∩ A

2.        A ∪ B = B ∪ A

3. (Ac)c = A

4. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

5. A ∪ (B U C) = (A U B) U C

6. A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

7. A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

8. (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

9. (A∪  B)c = Ac ∪ Bc

10. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A∩ B)

Hukum-hukum Aljabar Himpunan

1.  Hukum identitas:    A = A    A U = A	2.  Hukum null/dominasi:    A =    A U = U
3.  Hukum komplemen:    A  = U    A  =	4.  Hukum idempoten:    A A = A    A A = A
5.  Hukum involusi:    = A	6.  Hukum penyerapan (absorpsi):    A (A B) = A    A (A B) = A
7.  Hukum komutatif:    A B = B A    A B = B A	8.  Hukum asosiatif:    A (B C) = (A B) C    A (B C) = (A B) C
9.  Hukum distributif: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)	10.    Hukum De Morgan:     =     =
11.           Hukum 0/1     = U     = Æ

Himpunan bilangan

Himpunan bilangan asli N = {1, 2, 3, 4, 5, …. }.

Himpunan bilangan prima P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …. }.

Himpunan bilangan cacah C = {0, 1, 2, 3, 4, …. }.

Himpunan bilangan bulat Z = {…., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. }.

Himpunan bilangan Real R adalah himpunan yang memuat semua bilangan anggota garis bilangan

Himpunan bilangan Rasional Q = {a/b | a, b   Z dan b  0}.

Himpunan bilangan irrasional R – Q =Q c = { x   R | x   Q }.

Hukum-hukum Aljabar

Suatu system aljabar terdiri dari himpunan obyek dengan satu atau lebih operasi

yang didefinisikan padanya.Bersama dengan hkum-hukum yang dibutuhkan dalam

operasi.

Definisi I.2

Misalkan * operasi biner pada himpunan A.

(1) operasi * assosiatif jika (a * b) * c = a * (b * c) untuk semua a, b, c dalam A.

(2) operasi * komutatif jika a*b = b*a untuk semua a, b dalam A.

Dalam pembahasan selanjutnya hokum-hukum dasar aljabar untuk penjumlahan

dan pergandaan yang didefinisikan pada bilangan bulat Z dan bilangan Real R sebagai

aksioma (axioms) yaitu diterima tanpa bukti.

Contoh :

Operasi * didefinisikan pada himpunan bilangan real R dengan a * b = (1/2) a b.

Akan ditunjukkan bahwa * assosiatif dan komutatif.

Karena (a * b) * c = (1/2 a b) * c

                                    =1/2((1/2 a b) c)

                                    =1/4(a b)c

dan pada sisi lain

a * (b * c)=a *(1/2) bc)

                 = (1/2)a((1/2) bc)

                 = ¼ (a b) c

untuk semua a, b dan c dalam R maka * assosiatif.

Karena a * b = (1/2) a b

                        = (1/2) b a = b*a.

Untuk semua a, b dalam R maka * komutatif.